lunes, 13 de diciembre de 2010

Circunferencia


Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica .1 2 3 4 5
Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
  • centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
  • radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
  • diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
  • cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
  • recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
  • recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
    • punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
  • arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
  • semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.



Posiciones relativas

La circunferencia y un punto

Un punto en el plano puede ser:
  • Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
  • Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
  • Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

La circunferencia y la recta

Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
  • Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
  • Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
  • Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.

Dos circunferencias

Dos circunferencias, en función de sus pocisones relativas, se denominan:
  • Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
  • Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
  • Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
  • Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
  • Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
  • Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
  • Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.                          
    Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
    Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
    La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
    Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
    La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco. (Véase: arco capaz.)
    Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
    La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
    Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
    La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
    Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia

    Longitud de la circunferencia

    La longitud \ellde una circunferencia es:
     \ell = \pi \cdot 2r
    donde  r \,es la longitud del radio.
    Pues \pi \,(número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
     \pi = \frac {\ell}{2r}


Circunferencia Con Centro Fuera Del Origen


Ecuaciones ordinarias de las cónicas
Circunferencia
Por definición, la circunferencia es la curva en donde todos sus puntos equidistan de otro llamado centro. Si la circunferencia tiene centro en el origen, la ecuación es:
x2 + y2 = r2
donde x y y denotan a las coordenadas rectangulares de un punto de la curva y r es el radio de la circunferencia. Esta forma es en realidad el Teorema de Pitágoras donde se consideran todos los triángulos rectángulos con hipotenusa constante e igual a r.
Si el centro de la circunferencia se encuentra fuera del origen, en las coordenadas (h,k), la ecuación queda:
(x-h)2 + (y-k)2 = r2
También es posible calcular el centro y radio de un círculo sabiendo tres puntos por los que pasa.
Parábola
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de una línea recta llamada directriz y un punto fijo llamado foco. El punto de la curva más cercano a la directriz se llama vértice. A la recta que pasa por el foco y el vértice se denomina eje focal.
Deduciremos la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de las abcisas. Podemos fijar a la directriz como una recta de ecuación x=p, siendo p cualquier constante real. Luego denominamos a un punto de la parábola por sus coordenadas (x, y). Vamos a considerar que el foco está ubicado en (-p, 0), por simplicidad. Según estas condiciones podemos plantear:
|x-p| = [(x+p)2 + y2]1/2
(x-p)2 = (x+p)2 + y2
x2 - 2px + p2 = x2 + 2px + p2 + y2
Simplificando y reordenando:
y2 = 4px
Algunos autores manejan también la ecuación y2 = 2px, siendo la ecuación de la directriz x=p/2 y las coordenadas del foco (-p/2,0). Esto significa que nuestra ecuación original considera como 2p la distancia entre el foco y el vértice, mientras que con este cambio la distancia es simplemente p.
Sustituyendo en nuestro planteamiento original las ordenadas por las abcisas y viceversa, obtenemos una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de las ordenadas, es decir x2= 4py.
Si el vértice se encuentra en las coordenadas (h,k) entones la ecuación se transforma en:
(y-k)2 = 4p(x-h)
De la misma manera:
(x-h)2= 4p(y-k)
Elipse
La elipse es simplemente una transformación de afinidad de la circunferencia. Aquellos que tengan una calculadora graficadora notarán que si grafican un círculo y cambian los factores de escala de ambos ejes de tal manera que sean diferentes, el círculo se achata o se estira tomando forma de elipse.
Usemos la ecuación de una circunferencia unitaria:
x2 + y2 = 1
Ahora supongamos que las abcisas y las ordenadas cambian en factores a y b, siendo a y b números reales positivos diferentes de cero. Eso significa que si “graficamos” con estos cambios las nuevas coordenadas de un punto (x,y) serán (x/a,y/b). Eso deja nuestra ecuación del circulo unitario de la siguiente forma:
(x/a)2 + (y/b)2 = 1
Por supuesto, ahora ya no es un círculo. En vez de diámetro tiene ahora dos ejes: uno mayor y otro menor. Si a>b entonces el eje mayor está sobre el eje de las abcisas y tiene un valor de 2a. Caso contrario está sobre el eje de las ordenadas y vale 2b. Algunos autores, cuando esto ocurre, cambian la ecuación a (x/b)2 + (y/a)2 = 1, para que siempre el valor de a sea el semieje mayor.
Podemos cambiar el centro de la elipse a coordenadas (h,k) y escribir:
(x-h)2/a2 + (y-k)2/b2 = 1
¿La definición clásica? Ah, sí. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de su distancia a otros dos llamados focos es siempre constante.
Esa definición nos permite encontrar la llamada distancia focal entre el centro y cualquiera de los focos, que se representa como c. Se ve fácilmente que:
(a+c)+ (a-c) = 2(c2 + b2)1/2
2a = 2(c2 + b2)1/2
a2 = c2 + b2
c2 = a2 - b2
Considerando a un punto extremo de cada eje.
Hipérbola
Una hipérbola, igual que una elipse, tiene dos focos. La definición de su lugar geométrico se consigue copiando y pegando la de la elipse cambiando la palabra “suma” por “diferencia”:
Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de su distancia a otros dos llamados focos es siempre constante.
Suponiendo que los focos están en (c,0) y (-c,0), lo que hemos dicho se traduce en lo siguiente:
[(x-c)+y2]1/2+[(x+c)+y2]1/2 = k
Elevando al cuadrado, aislando el radical que queda, elevando de nuevo al cuadrado, cancelando lo que tiene que ser cancelado, agrupando a los términos que tienen a la x y a la y y dividiendo lo que queda del lado derecho, nos queda:
[4×2/k2]-[4y2/(4c2-k2)]=1.
Considerando un punto con y = 0 y x > 0, tenemos 4×2=k2. Si llamamos a a este valor de abcisa llegamos a 2a=k. Al hacer b2= c2-a2, por fin obtenemos la ecuación que es muy parecida a la de la elipse,
x2/a2-y2/b2=1.