lunes, 13 de diciembre de 2010

Lugar geométrico


Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como un lugar geométrico.

Ejemplos

Éstos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:
  • El lugar geométrico de los puntos que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento AB en su punto medio ((A + B) / 2).
  • La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
  • Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).
Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos:
  • Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse).
  • La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.
  • La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.
Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geométrico generado por los ceros de una función o de un polinomio. Por ejemplo, las cuádricas están definidas como el lugar geométrico de los ceros de polinomios cuadráticos. En general, los lugares geométricos generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica, las propiedades de dichas variedades se estudian en la geometría algebraica.

Lugares Geométricos
Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:
·         Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
·         Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.
Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.
2.1. Mediatriz
Recta perpendicular al punto medio de un segmento. Mediatrices de un triángulo son las m. de cada uno de sus lados. Las tres m. concurren en un punto llamado circuncentro del triángulo. También se puede definir la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.
2.2 Bisectriz
De un ángulo, es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. También se puede definir la bisectriz de un ángulo como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de los lados del ángulo.
3º Circunferencia
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.. La distancia constante que separa cualquier punto de la circunferencia del centro es radio R.
Ecuación de la circunferencia:
Si C(a,b) es el centro de la circunferencia y P(x,y), un punto cuanquiera de la misma, la definición nos dice:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Esta es la ecuación de la circunferencia, o sea la condicion que deben cumplir las coordenadas (x,y) de cualquier punto que este en la circunferencia de centro (a,b) y radio r.
Desarrollando la ecuación anterior podemos escribir de otra manera la ecuación de la circunferencia.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ecuación reducida, es la que corresponde a una cónica cuyo centro es el origen de coordenadas. En el caso de la circunferencia la ecuación reducida es : x2 + y2 = R2
4º Circunferencia que pasa por 3 puntos
Si consideramos dos puntos A y B resulta que hay infinitas circunferencias que pasan por ellos, basta considerar la mediatriz del segmento que los une y observar que las circunferencias con centro en esa mediatriz y que pasen por uno de los puntos también pasarán por el otro.
Cuando disponemos de tres puntos P, Q y R que no estén alineados, la mediatriz de PQ y la Mediatriz de QR se cortarán en un punto, ese punto es el centro de la circunferencia que pasa por P, Q y R puesto que los tres equidistan de él. Dicho con otras palabras, consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de dicha circunferencia se obtiene fácilmente, como intersección de las mediatrices de dos de los lados de ese triángulo. En el caso de que los tres puntos dados estén alineados el problema carece de solución
5º Posición relativa de una recta y una circunferencia
Una recta r: ax + by + c = 0 puede ser secante, tangente o exterior a una circunferencia c: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 según las soluciones del sistema: Lugares geométricos
- Si el sistema tiene dos soluciones, la recta será secante y estas soluciones serán los puntos de corte.
- Si el sistema tiene una solución, la recta será tangente, siendo la solución el punto de tangencia
- Si el sistema no tiene solución, la recta será exterior.
6º Posición relativa de 2 circunferencias
Dos circunferencias pueden presentar las siguientes posiciones relativas:
-Exteriores: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.
-Secantes: si tienen dos puntos en común, siendo la distancia entre sus centros menor que la suma de sus radios.
-Tangentes exteriores: tienen un punto en común y la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
-Tangentes interiores: son circunferencias que tienen un punto en común y la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.
-Interiores: son circunferencias que no tienen puntos comunes y la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.
-Concéntricas: son circunferencias interiores que tienen el mismo centro.
7º Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.
La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario.
Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.
La ecuación de un elipse es x2/a2 + y2/b2 = 0
Lugares geométricos
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :

8º Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.
El punto donde se cortan ambos ejes se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la
hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola.
Ecuación de la hipérbola :
x2 / a2 - y2 / b2 = 1
9º Excentricidad de una cónica
La excentricidad de una cónica, representado por e, es el cociente entre la distancia focal y la longitud del eje principal. Como la distancia focal es 2c y la longitud del eje principal 2a, la excentricidad es e = c/a
El valor de la excentricidad determina el tipo de cónica:
Si e < 1 es una elipse (circunferencia e = 0).
Si e = 1 es una parábola.
Si e > 1 es una hipérbola.
10º Posición relativa de 1 recta y 1 cónica
Las posiciones relativas entre una recta y una cónica pueden ser las mismas que dadas para una circunferencia. Para saber donde en que sitio nos situamos, resolveremos el sistema formado por la ecuación de la cónica y la ecuación de la recta dadas.
Las posiciones relativas posibles de una recta respecto a una cónica son tres:
Secantes, tiene dos soluciones.
Tangentes, tiene una solución.
Exteriores, carece de solución.

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