Circunferencia Con Centro Fuera Del Origen

Ecuaciones ordinarias de las cónicas

Circunferencia

Por definición, la circunferencia es la curva en donde todos sus puntos equidistan de otro llamado centro. Si la circunferencia tiene centro en el origen, la ecuación es:

x2 + y2 = r2

donde x y y denotan a las coordenadas rectangulares de un punto de la curva y r es el radio de la circunferencia. Esta forma es en realidad el Teorema de Pitágoras donde se consideran todos los triángulos rectángulos con hipotenusa constante e igual a r.

Si el centro de la circunferencia se encuentra fuera del origen, en las coordenadas (h,k), la ecuación queda:

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

También es posible calcular el centro y radio de un círculo sabiendo tres puntos por los que pasa.

Parábola

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de una línea recta llamada directriz y un punto fijo llamado foco. El punto de la curva más cercano a la directriz se llama vértice. A la recta que pasa por el foco y el vértice se denomina eje focal.

Deduciremos la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de las abcisas. Podemos fijar a la directriz como una recta de ecuación x=p, siendo p cualquier constante real. Luego denominamos a un punto de la parábola por sus coordenadas (x, y). Vamos a considerar que el foco está ubicado en (-p, 0), por simplicidad. Según estas condiciones podemos plantear:

|x-p| = [(x+p)2 + y2]1/2

(x-p)2 = (x+p)2 + y2

x2 - 2px + p2 = x2 + 2px + p2 + y2

Simplificando y reordenando:

y2 = 4px

Algunos autores manejan también la ecuación y2 = 2px, siendo la ecuación de la directriz x=p/2 y las coordenadas del foco (-p/2,0). Esto significa que nuestra ecuación original considera como 2p la distancia entre el foco y el vértice, mientras que con este cambio la distancia es simplemente p.

Sustituyendo en nuestro planteamiento original las ordenadas por las abcisas y viceversa, obtenemos una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de las ordenadas, es decir x2= 4py.

Si el vértice se encuentra en las coordenadas (h,k) entones la ecuación se transforma en:

(y-k)2 = 4p(x-h)

De la misma manera:

(x-h)2= 4p(y-k)

Elipse

La elipse es simplemente una transformación de afinidad de la circunferencia. Aquellos que tengan una calculadora graficadora notarán que si grafican un círculo y cambian los factores de escala de ambos ejes de tal manera que sean diferentes, el círculo se achata o se estira tomando forma de elipse.

Usemos la ecuación de una circunferencia unitaria:

x2 + y2 = 1

Ahora supongamos que las abcisas y las ordenadas cambian en factores a y b, siendo a y b números reales positivos diferentes de cero. Eso significa que si “graficamos” con estos cambios las nuevas coordenadas de un punto (x,y) serán (x/a,y/b). Eso deja nuestra ecuación del circulo unitario de la siguiente forma:

(x/a)2 + (y/b)2 = 1

Por supuesto, ahora ya no es un círculo. En vez de diámetro tiene ahora dos ejes: uno mayor y otro menor. Si a>b entonces el eje mayor está sobre el eje de las abcisas y tiene un valor de 2a. Caso contrario está sobre el eje de las ordenadas y vale 2b. Algunos autores, cuando esto ocurre, cambian la ecuación a (x/b)2 + (y/a)2 = 1, para que siempre el valor de a sea el semieje mayor.

Podemos cambiar el centro de la elipse a coordenadas (h,k) y escribir:

(x-h)2/a2 + (y-k)2/b2 = 1

¿La definición clásica? Ah, sí. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de su distancia a otros dos llamados focos es siempre constante.

Esa definición nos permite encontrar la llamada distancia focal entre el centro y cualquiera de los focos, que se representa como c. Se ve fácilmente que:

(a+c)+ (a-c) = 2(c2 + b2)1/2

2a = 2(c2 + b2)1/2

a2 = c2 + b2

c2 = a2 - b2

Considerando a un punto extremo de cada eje.

Hipérbola

Una hipérbola, igual que una elipse, tiene dos focos. La definición de su lugar geométrico se consigue copiando y pegando la de la elipse cambiando la palabra “suma” por “diferencia”:

Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de su distancia a otros dos llamados focos es siempre constante.

Suponiendo que los focos están en (c,0) y (-c,0), lo que hemos dicho se traduce en lo siguiente:

[(x-c)+y2]1/2+[(x+c)+y2]1/2 = k

Elevando al cuadrado, aislando el radical que queda, elevando de nuevo al cuadrado, cancelando lo que tiene que ser cancelado, agrupando a los términos que tienen a la x y a la y y dividiendo lo que queda del lado derecho, nos queda:

[4×2/k2]-[4y2/(4c2-k2)]=1.

Considerando un punto con y = 0 y x > 0, tenemos 4×2=k2. Si llamamos a a este valor de abcisa llegamos a 2a=k. Al hacer b2= c2-a2, por fin obtenemos la ecuación que es muy parecida a la de la elipse,

x2/a2-y2/b2=1.