Ecuaciones Y Propiedades De La Recta

La ecuación general de la recta es de la siguiente forma:

Ax+By+C=0

PROPIEDADES DE LA RECTA:

I. Dos rectas se intersecan en un punto, y sólo en uno.

II. Si fuera de una recta se encuentra un punto, el punto y la recta están contenidos en un plano, y sólo en uno.

III. Si dos rectas se intersecan, ambas están contenidos en un plano, y sólo en uno.

IV. Si en una misma recta están tres puntos, no más de uno está situado entre los otros dos.

V. En un rayo existe un punto, y sólo uno, situado a una distancia dada del punto extremo del rayo.

VI. Un segmento tiene un punto medio y sólo uno.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA

Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3. Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:  Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)   La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.

..

Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y

Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas  P’’(x, Y), Y  y. Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo. Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que: Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b. Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

..

Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida
Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida.

.

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:                 y = mx + b             (1) Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:                  y1 = mx1 + b          (2) fig. 4.8 Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene: y – y1 = m(x – x1) (3) La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta. Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:  y = mx + (y1 – mx1). Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por: b = y1 – mx1

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente.

....

Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que                             y – y1 = m1 (x – x1)    (1) representa la ecuación de dicha recta. Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación.     fig. 4.9. Esto es y2 – y1 =; de donde  (2) Sustituyendo (2) en (1) se obtiene (3)  La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta. Observaciones        i.    Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación            (3) también puede escribirse en la forma:              Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:    ii.   Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la        ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así: = 0

....

Ecuación segmentaria de la linea recta
Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 4.10)

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por:  Es decir,  de donde,                         fig. 4.10 Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene: (1) La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1) y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x) x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)

..

Ecuación general de la linea recta
La ecución Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:   TEOREMA La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta.   Demostración  i.   Se puede Considerar varios casos: A = 0, B diferente de 0.        En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde   (2) La ecuación (2) representa una linea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es  (fig. 4.11)                       fig. 4.11. ii. En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde  (3) La ecuación (3) representa una linea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es  (fig. 4.12)                 fig. 4.12. iii. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma: (4) La ecuación (4) representa una linea recta, cuya pendiente es  y cuyo intercepto con el eje y viene dado por    (fig. 4.13) fig. 4.13. obeservaciones     i.   Es posible escribir la ecuación general de la linea recta en varias formas, de tal           manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos           de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes: (1A) (1B) (1C)          En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos          constantes independientes, por ejemplo  en (1A)   Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.      iii.   Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general            Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m           viene dado por y su coeficiente angular n, con respecto al eje y            viene dado por .          Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.

Ecuaciones Lineales con dos variables

Sistemas de Coordenadas Cartesianas
 

     El sistema de coordenadas cartesianas es formado por dos rectas; una horizontal y otra vertical, en el cual ambos se intersecan en el punto  0  de cada recta. Las dos rectas son llamados ejes.

     Estos dos ejes dividen el plano cartesiano en 4 secciones llamadas  cuadrantes.

 Cada punto en el plano se puede identificar por un par de números  llamado par ordenado. El primer numero del par, que  se llama la abcisa; está en la recta  horizontal, el eje de x.  El segundo numero  del par se llama la  ordenada que se encuentra en la recta vertical, el eje de y.
 
 

(1, 4)

                                                                      Eje de x              Eje de y
                                                                     Abcisa               Ordenada
 

El sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano, para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como:

y = 4x + 8
y = x² + 2x + 5
3y = 5x + 8
 

Digamos que queremos hacer la gráfica  la ecuación lineal  y = 3x + 7 . Hay que asignar valores a la  x  y resolverlo  para encontrar el valor de  y.  Con  los resultados se  formaran  los puntos de la gráfica de la siguiente manera:
 
Ej.  Encontrar los puntos de la ecuación  y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a  la x , los valores  de -2, -1, 0, 1 y 2
 

x	y
-2
-1
0
1
2

Y = 3x + 7
Y = 3(-2) + 7    [Cuando la x es -2, la y es 1]
Y = -6 + 7
Y = 1
 

Y = 3x + 7
Y = 3(-1) + 7    [Cuando la x es -1, la y es 4]
Y = -3 + 7
Y =4
 

Y = 3x + 7
Y = 3(0) + 7    [Cuando la x es 0, la y es 7]
Y = 0 + 7
Y = 7

Y = 3x + 7

Y=3(1) + 7

Y= 3 + 7

Y = 10            [Cuando la x es 1, la y es 10]

Y = 3x + 7

Y= 3(2) + 7

Y= 6 + 7

Y = 13            [Cuando la x es 2, la y es 13]

 

x	y
-2	1
-1	4
0	7
1	10
2	13

 

Y asi se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x  de la tabla. Es por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x. En el caso de está ecuacion  lineal, x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.

Para verificar que un punto sea solucion de la ecuación hay que hacer lo siguiente:

1. Sustituir la abcisa por x.
2. Sustituir la ordenada por la y. ( siempre recordar la forma {x,y} )
3. Resolver la ecuación.
4. Si resulta ser  igualdad, entonces el punto es solucion de la ecuación.
 

Ejemplo 1 :  ¿ Es ( 3,11) una solucion a la ecuación  y = 2x + 5?

Y = 2x + 5
11 = 2(3) + 5   < Sustituir los puntos por x y y>
11 = 6 + 5    < Resolver>
11 = 11    < Hay igualdad>
 

Quiere decir que el punto (3,11) es una solucion a la ecuación.

Ejemplo 2: ¿ Es (2,8) una solucion  de la ecuación   y = 2x + 5?

y =  2x + 5
8 = 2(2) + 5   < Se sustituyo la x  y la y>
8 = 4 + 5    < Resolver>
8 = 9      <FALSO, no es solucion>

El punto (2,8) no es solucion.
 
 

Interceptos, pendiente y ecuación de la recta

 Las ecuaciones lineales son siempre de la forma:

                                    y = mx + b

 Donde  m  es la pendiente y la  b es el intercepto en y.

 El intercepto en y esta expresada por: (0,b) y es donde la recta corta el eje de y
 El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el eje de x. 

Si la ecuación es y = 2x + -6, el intercepto en  y  seria:

   (0,-6)
 

Ejemplo 1: Buscar el intercepto en y de la ecuación  y = 3x + -5.

Solucion: En este caso, la b es -5; quiere decir que el intercepto en y es (0, -5)

Ejemplo 2: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 4x.

Solucion: En este caso, la b no está presente en la ecuación, pero la ecuación y = 4x equivale a y = 4x + 0. Por lo tanto, el intercepto en y es (0, 0).

Ejemplo 3: Buscar el intercepto en y de la ecuación 3y =  18x + 24

Solucion: ¡Ojo! El intercepto en y  no es 24, hay que fijarse bien que la ecuación no esta en su forma y = mx + b, hay que despejar de la siguiente manera:

3y = 18x + 24
 3       3       3
 

y = 6x + 8    < Ahora, esta en su forma y = mx + b. El intercepto
                        en y  es (0,8)>
 
 

La Pendiente

 La pendiente es la inclinación de una recta. Una forma de calcular la pendiente de una recta usando la siguiente fórmula. Dado dos puntos (x₁,y₁), (x₂,y₂),que están en una recta L,  la inclinación o la pendiente m de la recta de determina mediante

  m =    y₂ - y₁
             x₂ - x₁

La pendiente  es la la razon de cambios  de x  y  y. . Esta  puede ser positiva, negativa, puede ser 0 y en algunos casos, la pendiente esta indefinida.
  Ejemplo1: Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6)
 

    m  =    y₂ - y₁   = 6 - 4   = 2  = 2
                x₂ - x₁      3 - 2      1

La pendiente es 2.
 

 A veces, tenemos dos puntos, y queremos hallar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos. Primero, hay que determinar la pendiente de la recta, y para hallar la ecuación, utilizamos la ecuación  y = mx + b   donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto de b.
 

Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (0,9).

M =  y₂ - y₁   = 9 - 5   = 4  = -4
        x₂ - x₁       0 - 1     -1

La pendiente es -4. Ahora, hay que buscar el intercepto en y.  En este caso, ya está dado por (0,9)

Si la pendiente es -4, y el intercepto (0,9) entonces la ecuación es:

y = -4x + 9

Nota: Para buscar el intercepto en y, hay que siempre fijarse que la ecuación este en su forma 

y = mx + b. Si no lo esta, hay que expresarla respecto a y.

Ejemplo:  9x - 3y = 12                   <No esta en la forma y = mx + b>

                       -3y = -9x + 12           <Dejar la y sola, pasar el 9x opuesto>

                       -3y = -9x + 12           <Dividir entre 3 para despejar la y>
                        -3      -3      -3

                            y = 3x - 4

Ya esta en su forma y = mx + b, y su intercepto en y es  -4.
 

Tambien se puede conseguir el intercepto en y , sustituyendo la x por 0.
 

Intercepto de x

  Para buscar el intercepto en x, se sustituye  la y  por 0  en la ecuación.

Ejemplo: y = 9x + 5
               0 = 9x + 5
            -9x = 5

            -9x = 5

            -9     -9

              x = -5/9

El intercepto en y es (-5/9, 0)
 

Forma punto - pendiente

Hay otra manera para buscar una ecuación lineal, cuando se conoce  un punto y la pendiente, utilizando la fórmula  punto - pendiente:

                                                                    y - y₁ = m (x -x₁)

Ejemplo:  Buscar la ecuación de la recta que pasa por el punto  (3,-7) y  tiene pendiente de 8.

m= 8

y - y₁ = m (x - x₁)
y - (-7) = 8(x -3)   <Se sustituyó>
y + 7 = 8x - 24    <Propiedad distributiva>
y = 8x - 24 -7   <Se resuelve hasta dejarlo en y=mx+b>
y = 8x - 31