Mediatriz

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio (en Chile se le llama Simetral). Es muy similar a la mediana, pero su formación es diferente.

Construcción gráfica de la mediatriz

Para trazar la mediatriz de un segmento dado, se trazarán dos arcos de radio arbitrario (siempre mayores que la mitad de la longitud del segmento) con centros en los extremos del segmento. Los dos arcos se cortarán en dos puntos que pertenecen a la mediatriz, puesto que cumplen la condición de equidistar de los extremos del segmento.

Aplicación en triángulos

Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados, es decir, las perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Éstas se cortan en un punto que se denomina circuncentro o ruficentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo, es decir, de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Demostración

En efecto, sea AB el segmento que sea, determinado por los puntos A y B (véase la figura 1). Sea M el punto medio del segmento y r la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea P un punto sobre la recta r. En la simetría axial respecto de la recta r, el punto P es invariante y los puntos A y B son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento AP se transforma en el segmento BP, ambos segmentos son congruentes y el punto P equidista de los puntos A y B. En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta r pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.

Recíprocamente, (véase figura 2) sea AB un segmento y sea P un punto que equidista de A y de B, esto es que los segmentos AP y BP son iguales. Consideremos la bisectriz R del ángulo APB y sea M la intersección de dicha bisectriz con el segmento AB.
Por construcción, los ángulos APM y BPM son iguales y en la simetría axial respecto de la recta r se transforman uno en el otro. Como los segmentos PA y PB son iguales, en esta simetría, los puntos A y B son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto M es punto medio del segmento AB y que dicho segmento es perpendicular a la recta r.

Circuncentro

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Por la propiedad antes mencionada, en todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado el circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.

De izquierda a derecha, el circuncentro de un triángulo rectángulo, obtusángulo y acutángulo.